第9章 第5节 椭 圆（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　椭　圆 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，且e∈(0,1) c2＝a2－b2 (1)设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则 ①b≤|OP|<a； ②a－c<|PF1|<a＋c. (2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴． (3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴． (4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． (5)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)； ④S△PF1F2＝b2·tan . (6)椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆． (7)轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置．依据这些条件确定的椭圆方程可能有2个． 1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 2．椭圆＋＝1的离心率是(　 ) A. B. C. D. 答案：B 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选D　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝， 所以解得 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 4．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________． 解析：由已知得 解得3<k<5且k≠4. 答案：(3,4)∪(4,5) 5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________. 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一) 　椭圆的标准方程　 [题点全训] 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选B　由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. 2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选A　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为＋＝1. 3．若方程＋＝1所表示的曲线为C，对于曲线C有下列命题： ①若1<t<3，则C为椭圆；②若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3；③曲线C可能是圆；④若C为双曲线，则t<1. 其中正确的命题是(　 ) A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 解析：选B　当t＝2时，曲线C表示圆，故①错误，③正确；当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则t－1>3－t>0，解得2<t<3，故②正确；当曲线C为双曲线时，则(3－t)(t－1)<0，解得t<1或t>3，故④错误． 4．已知椭圆的中心在