第9章 第6节 双曲线（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　双曲线 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质. 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 性 质 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 c2＝a2＋b2 (1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. (5)若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. (6)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　 ) A.－＝1 B.－＝1(x≥4) C.－＝1 D.－＝1(x≥3) 解析：选D　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)． 2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D. 3．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． 解析：在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝. 答案：(3,0)　 4．若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________________． 解析：依题意有或解得－3<m<2或m>3.所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)． 答案：(－3,2)∪(3，＋∞) 5．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为______________． 解析：设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，把点A(4，1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为－＝1. 答案：－＝1 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　双曲线的标准方程　 [题点全训] 1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　 ) A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0) 解析：选B　由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)． 2．已知双曲线C的离心率e＝2，其中一个焦点的坐标为(0,2)，则双曲线C的标准方程是(　 ) A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．y2－＝1 D．y2－＝1 解析：选D　由题意得双曲线的焦点在y轴上，且c＝2，离心率e＝＝2，则a＝1，所以b2＝c2－a2＝3，则双曲线C的标准方程为y2－＝1，故选D. 3