第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五章 平面向量、复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． (2)O为△ABC重心的充要条件为＋＋＝0. (3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 2．下列各式不能化简为的是(　 ) A.＋(＋) B．(＋)＋(－) C.－＋ D．＋－ 答案：D 3．在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　 ) A．2＋ B．－2 C．2－ D．＋2 答案：C 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得 答案：－ 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　平面向量的概念　 [题点全训] 1．给出下列说法： ①两个有共同起点的相等向量，其终点必相同； ②两个有共同终点的向量，一定是共线向量； ③非零向量与非零向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中错误说法的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　对于①，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点的相等向量，其终点必相同，故①正确；对于②，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同也不相反，故②错误；对于③，共线向量是指方向相同或相反的向量，向量与向量是共线向量，则线段AB和CD平行或共线，故③错误；对于④，有向线段是向量的表示形式，不能等同于向量，故④错误.4个说法中有3个错误，故选C. 2．给出下列四个命题： ①∥，就是所在的直线与所在的直线平行； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(　 ) A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 解析：选A　①不正确.所在的直线与所在的直线可能重合；②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝；③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③，故选A. 3.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　 ) A.＝ B．＝ C.＝ D．＝ 解析：选D　根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与