第5章 第4节 复数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　复　数 1．复数的定义及分类 (1)复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： 2．复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 3．复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 4．复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (3)z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. (4)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数． (5)复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数． (6)两个虚数不能比较大小． (7)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 1．若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　 ) A．a≠2且a≠－1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝0或a＝2 答案：B 2．若复数z＝(i为复数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：D 3．复数z＝＝(　 ) A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i 答案：A 4．(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　 ) A．1 B．5 C．7 D．25 解析：选B　依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以|z|＝＝5，故选B. 5．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D　因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2. 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　复数的概念　 [题点全训] 1．已知是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a＝(　 ) A．－2 B．－ C. D．2 解析：选C　＝ ＝， 若为纯虚数，则解得a＝. 2．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　 ) A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1 解析：选A　由题意知a＋b＋2ai＝2i， 所以解得故选A. 3.是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　 ) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 解析：选D　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以z＋＝2a＝2，即a＝1，(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，即b＝－1，所以z＝1－i，故选D. [一“点”就过] 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 基础点(二)　复数的四则运算　 [题点全训] 1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　 ) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：选D　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i. 2．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　 ) A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i 解析：选B　因为(1－i)2z＝3＋2i，所以z＝＝＝－1＋i.故选B. 3．若复数z对应的点是(－1,1)，则＝(　 ) A．i B．－i C．－1