第6章 第1节 数列的概念及通项公式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第六章 数　列 第一节　数列的概念及通项公式 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的有关概念 定义 按照确定的顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 与函数的关系 从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 表示法 列表法、图象法和通项公式法 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项 2.数列的前n项和Sn与通项公式an的关系 前n项和 Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*) an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝求通项时，注意对n＝1时的检验 1．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 2．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 3．数列的性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列．否则为摆动数列或常数列(an＋1＝an)． (2)周期性——若an＋k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． 1．数列，，，，…的一个通项公式为(　 ) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案：B 2．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　 ) A．21 B．33 C．152 D．153 解析：选C　由9＋12n＝152，得n＝∉N*. 3．若an＝n2－5n＋3，则当n＝________时，an取得最小值． 解析：an＝n2－5n＋3＝2－，∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，a2＝a3＝－3. 答案：2或3 4．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________. 解析：由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 答案：21 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，经检验a1＝4不适合an＝2n＋1，故an＝ 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　由数列的前几项求通项公式　 [题点全训] 1．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是an＝(　 ) A.(10n－1) B．(10n－1) C. D．(10n－1) 解析：选C　数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式是bn＝10n－1，则数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的一个通项公式是cn＝×(10n－1)＝1－，则数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是an＝. 2．已知数列， ， ， ， ，…，则5是它的(　 ) A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 解析：选C　数列， ， ， ， ，…中的各项可变形为，，，，，…，所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21. 3．若数列{an}的前6项为1，－，，－，，－，则数列{an}的通项公式为(　 ) A. B．－ C．(－1)n D．(－1)n＋1 解析：选D　通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，故用(－1)n＋1表示各项的正负；而分母是以1为首项，2为公差的等差数列， 故第n项的分母为2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1. [一“点”就过] 由数列的前几项求数列的通项的策略 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察、对比、分析，从整体到局部多角度归纳、联想．抓住以下几个方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征； (4)符号特征． 基础点(二)　Sn与an的关系的应用　 [题点全训] 1．已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2n＋1－1，则数列{an}的通项公式为(　 ) A．an＝2n B．an＝ C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 解析：选B　当n≥2时，Sn－1＝2n－1，an＝Sn－Sn