第6章 第3节 等比数列及其前n项和（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列 通项公式 设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*) 等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab 2.等比数列的前n项和公式 Sn＝ 1．微点提醒 (1)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． (3)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (4)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 2．等比数列的性质 (1)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a. (2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (4)若或则等比数列{an}递增；若或则等比数列{an}递减． 1．已知a＝2＋，b＝2－，则a，b的等比中项为(　 ) A. B．1 C．－1 D．±1 答案：D 2．已知1，，2，…为等比数列，当an＝8时，则正整数n＝(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：C 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝________. 解析：由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63. 答案：63 4．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝________. 解析：因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32. 答案：32 5．若正项等比数列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为________． 解析：因为{an}是正项等比数列，可得q>0，且a1a3＝a2＝(a2)2，解得a2＝1或a2＝0(舍去)，因为q3＝＝＝27，所以q＝3，所以该数列的公比为3. 答案：3 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　等比数列基本量的运算　 [题点全训] 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 ) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得 即解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 2．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　 ) A．4 B．10 C．16 D．32 解析：选C　设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16. 3．已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　 ) A．2　　　　　　　　　 B．4 C. D．2 解析：选B　由题意，设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，则q2＝，q＝，所以a1＝＝4. 4．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1， 则解得 则a8＝a1q7＝×27＝32. 答案：32 [一“点”就过] 等比数列基本运算中的2种常用数学思想 方程 思想 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 分类讨 论思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝ 层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　等比数列的判定与证明　 [典例]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.求证：{bn}是等比数列．