第3章 第1节 导数的概念及运算、定积分（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三章 导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 1.理解导数的概念及意义. 2.掌握导数的运算. 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 记法 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ 几何意义 是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 2．函数f(x)的导函数 函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)． (1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (3)′＝－. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (5)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． 1．下列函数中满足f(x)＝f′(x)的是(　 ) A．f(x)＝3＋x B．f(x)＝－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝0 解析：选D　若f(x)＝0，则f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．故选D. 2．曲线y＝＋2在点(1，m)处的切线方程为(　 ) A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－4 D．y＝－2x＋3 解析：选D　当x＝1时，y＝＋2＝1.因为y′＝－，所以y′|x＝1＝－＝－2，则所求的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3.故选D. 3．下列式子错误的是(　 ) A．(sin x)′＝cos x B．(cos x)′＝sin x C．(2ln x)′＝ D．(e－x)′＝－e－x 解析：选B　对于A，(sin x)′＝cos x，正确；对于B，(cos x)′＝－sin x，错误；对于C，(2ln x)′＝，正确；对于D，(e－x)′＝－e－x，正确，故选B. 4．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3. 答案：3 5．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________. 解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex， ∴当x＝0时，y′＝a＋1， ∴a＋1＝－2，解得a＝－3. 答案：－3 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　导数的运算　 [题点全训] 1．已知函数f(x)＝x2，则 ＝(　 ) A．－2 B．－ C. D．2 解析：选A　∵f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2， ∴ ＝－ ＝－f′(1)＝－2. 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　 ) A．－e B．－1 C．1 D．e 解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 得f′(x)＝2f′(1)＋. 所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 3．求下列函数的导数． (1)y＝cos x－sin x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝. 解：(1)y′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x. (2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝ ＝ ＝. [一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0