第3章 第2节 导数与函数的单调性（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　导数与函数的单调性 1．函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内是单调递增函数 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内是单调递减函数 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2．充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验． 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　 ) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：选D　∵f′(x)＝－sin x－1＜0， ∴f(x)在(0，π)上是减函数． 2．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　 ) A. 　　 B． C. 　　 D．∪ 解析：选C　因为函数f(x)＝2x2－ln x，所以f′(x)＝4x－＝＝，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.故选C. 3.导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　 ) 解析：选D　由题图可知当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合． 4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________． 解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，解得x>2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上单调递减，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤ . 答案：[－， ] 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　判断不含参函数的单调性或单调区间 [题点全训] 1．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(　 ) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析：选D　因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R， 定义域关于原点对称， 且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故选D. 2．(2023·南岗期末)函数f(x)＝x2－9ln x的单调递减区间是(　 ) A．(0,3) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(－3,3) 解析：选A　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－＝， 令f′(x)≤0，解得－3≤x≤3， 又因为x>0，所以0<x≤3， 故函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，故选A. 3．函数f(x)＝(x∈[e，＋∞))的单调递增区间为__________． 解析：f′(x)＝， 令g(x)＝x－1－ln x，g′(x)＝1－， ∵x∈[e，＋∞)，∴1－>0，g′(x)>0， ∴g(x)在x∈[e，＋∞)上是增函数， g(x)≥g(e)＝e－2>0，即f′(x)>0， ∴f(x)的单调递增区间为[e，＋∞)． 答案：[e，＋∞) [一“点”就过] 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　判断含参函数的单调性　 [典例]　已知函数f(x)＝ln x＋－(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． [解]　f′(x)＝(x>0)， ①当a<0时，f′(x)>0