第3章 第3节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　导数与函数的极值、最值 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值其中多项式函数不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值其中多项式函数不超过三次. 2.利用导数研究函数的单调性、极最值，并会解决与之有关的方程不等式问题. 1．函数的极值与导数 极大值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值 极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 2．函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3．函数极值与最值的区别与联系 极值 最值 区别 (1)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得； (2)在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有 (1)最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；(2)最值最多有一个 联系 (1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得，必定是极值； (2)在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值，则这个极值就是最值 (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)． (2)极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大． (3)有极值的函数一定不是单调函数． (4)f′(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 1．如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断不正确的是(　 ) A．在区间(－3，－2)内单调递减 B．在区间(2,3)内单调递增 C．x＝－3是极小值点 D．x＝4是极大值点 答案：C 2．函数f(x)＝的极大值为(　 ) A．－e B． C．1 D．0 答案：B 3．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　 ) A．2 B． C．－2 D．－ 解析：选B　由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意． 4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8， f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 答案：32 5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6. 答案：(2,6) 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　已知图象判断函数的极值、最值　 [题点全训] 1．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中不正确的是(　 ) A．f(x)在[－2，－1]上是减函数 B．当x＝3时，f(x)取得最小值 C．当x＝－1时，f(x)取得极小值 D．当x＝2时，f(x)取得极大值 解析：选B　根据图象知当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故A、C、D正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，B错误． 2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　 ) A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3) 解析：选D　结合题目所给图象进行分段分析，当x<－3时，(x－1)3<0，得f′(x)<0；当－3<x<1时，(x－1)3<0，得f′(x)>0；当1<x<3时，(x－1)3>0，得f′(x)>0；当x>3时，(x－1)3>0，得f′(x)