第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四章 三角函数与解三角形 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 1．三角函数的基本概念 定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 2.象限角 象限角 角的表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z} 3.弧度制 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°≈57.3° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 4.任意角的三角函数 (1)定义 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0) 推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0) (2)几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 1．几点注意 (1)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)若α∈0，，则tan α>α>sin α. (3)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用． (4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况． (5)区分两个概念 ①第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角． ②不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等． 2．常用结论 (1)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 1．角－870°的终边所在的象限是(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　∵－870°＝－1 080°＋210°， ∴角－870°的终边在第三象限． 2．已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选D　因为sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α－cos α＝－－＝－. 3．已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，故α∈，故选D. 4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π， 所以r＝6，所以此扇形的面积为×2π×6＝6π. 答案：6π 5．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________． 解析：与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得在0到2π范围内与角－终边相同的角是. 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　角的概念与表示　 [题点全训] 1．下列命题中正确命题的个数是(　 ) ①第二象限角大于第一象限角 ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角 ③若sin α＝sin β，则α与β的终边相同 ④若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角 A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A　①由任意角的定义，各象限的角都有可能为正角或负角，故第二象限角大于第一象限角，错误；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角，也有可能是轴线角，错误；③当α＝，β＝时，sin α＝sin β，显然α与β的终边不相同，错误；④cos θ＝－1<0，此时θ终边在x轴负半轴上，错误． 所以正确命题的个数为0. 2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　 ) 解析：选B　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)