第13章 第2节 不等式的证明（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　不等式的证明 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c 时，等号成立． 2．比较法 (1)作差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b. (2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1. 3．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立． (2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立． 4．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立． 5．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的． 6．柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则ab≥aibi2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 考点(一)　分析法、综合法证明不等式　 考法1　综合法 [例1]　(2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且＝1，证明： (1)abc≤； (2)＋＋≤. [证明]　(1)因为a，b，c都是正数，1＝ 所以abc≤， 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． (2)由基本不等式得b＋c≥2， 所以≤， 同理得≤，≤. 利用不等式的性质得 ＋＋≤＋＋ ＝＋＋ ＝ ＝，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 考法2　分析法 [例2]　已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [证明]　(1)因为a>0，b>0，a3＋b3＝2， 所以要证(a＋b)(a5＋b5)≥4， 只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2， 即证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6， 即证a4＋b4≥2a2b2. 因为(a2－b2)2≥0，所以a4＋b4≥2a2b2成立， 故原不等式成立． (2)要证a＋b≤2， 只需证(a＋b)3≤8， 即证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8， 即证ab(a＋b)≤2， 即证ab(a＋b)≤a3＋b3， 即证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)， 即证ab≤a2－ab＋b2， 即证a2＋b2≥2ab，此式显然成立． 故原不等式成立． [方法技巧] 1．综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键； (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件． 2．用分析法证“若A则B”这个命题的模式 为了证明命题B为真， 只需证明命题B1为真，从而有… 只需证明命题B2为真，从而有… …… 只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．　　 [针对训练] 1．已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－<a<c＋. 证明：要证c－<a<c＋， 即证－<a－c<， 即证|a－c|<， 即证(a－c)2<c2－ab， 即证a2－2ac<－ab. 因为a>0，所以只要证a－2c<－b， 即证a＋b<2c. 由已知条件知，上式显然成立， 所以原不等式成立． 2．(2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 证明：(1)因为a2＋b2＋4c2＝3， 所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2]，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号， 所以(a＋b＋2c)2≤3＋2[a2＋b2＋(2c)2]＝9. 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. (2)因为b＝2c，所以根据(1)有a＋4c≤3. ＋＝≥＝≥＝3， 当且仅当a＝b＝2c＝1时取得等号． 考点(二)　放缩法证明