第11章 第2节 二项式定理（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　二项式定理 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数为C，C，…，C 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为C；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C或C 各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n. 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1 1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　 ) A．C B．－C C．C D．－C 答案：D 2．x2＋5的展开式中x4的系数为(　 ) A．10 B．20 C．40 D．80 答案：C 3．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　 ) A．74 B．121 C．－74 D．－121 答案：D 4．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为________． 解析：由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝C·(5x)4－r·(－)r＝(－1)r·C·54－r·x4－.令4－＝3，得r＝2，∴展开式中x3的系数为C×52×(－1)2＝150. 答案：150 5．在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________． 解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 答案：1 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　求展开式中的特定项或特定项系数 [题点全训] 1．在二项式(1－2x)5的展开式中，x3的系数为(　 ) A．40 B．－40 C．80 D．－80 解析：选D　因为(1－2x)5展开式的通项为Tr＋1＝C·(－2x)r，令r＝3，所以x3的系数为C×(－2)3＝－80.故选D. 2．2x－6的展开式中的常数项为(　 ) A．－160 B．160 C．80 D．－80 解析：选A　2x－6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r－r＝C26－r·(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故2x－6的展开式中的常数项为C×23×(－1)3＝－160.故选A. 3．(1＋)7的展开式中无理项的项数为(　 ) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选D　(1＋)7展开式的通项为Tr＋1＝C()r＝C2，当r＝1,3,5,7时，对应的项为无理数，故无理项的项数为4.故选D. 4．在ax2－5的展开式中，若含x－2项的系数为－40，则正实数a＝(　 ) A. B．2 C．3 D．4 解析：选B　5展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)5－r·r＝Ca5－r(－1)rx10－4r.令10－4r＝－2，得r＝3，所以Ca5－3·(－1)3＝－40，解得a＝2或a＝－2(舍去)．故选B. [一“点”就过] 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； 第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1. 基础点(二)　二项式系数与各项的系数和问题 [题点全训] 1．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　 ) A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680 解析：选C　根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.故选C. 2．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a