第11章 第1节 两个基本计数原理与排列组合（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第十一章| 计数原理与概率、随机变量及其分布 第一节　两个基本计数原理与排列组合 1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义. 2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 1．两个计数原理 名称 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法 分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法 2．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C (1)元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． (2)①排列数与组合数之间的联系为CA＝A. ②两种形式分别为：a.连乘积形式；b.阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证． (3)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏． (4)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏． 1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　 ) A．16 B．13 C．12 D．10 答案：C 2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　 ) A．12 B．24 C．64 D．81 答案：B 3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有________种． 答案：60 4．若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有______种． 答案：140 5．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________． 答案：30 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　分类加法计数原理　 [题点全训] 1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　 ) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 解析：选B　依题意得，可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)． 2．已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　 ) A．9 B．14 C．15 D．21 解析：选B　因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，所以x∈{y,2}．所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况； 当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况． 故共有7＋7＝14(种)情况，即这样的点的个数为14. 3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有(　 ) A．50个 B．45个 C．36个 D．35个 解析：选C　由题意，知十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，知符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． [一“点”就过] 分类加法计数原理的分类标准的选择 (1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏． 基础点(二)　分步乘法计数原理　 [题点全训] 1．某人要给厨房中装有不