第11章 第5节 离散型随机变量的分布列及均值、方差（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　离散型随机变量的分布列及均值、方差 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征均值、方差. 3.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②i＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． (2)超几何分布列 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m P … 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 4．离散型随机变量的均值与方差 (1)均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 设离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根 为随机变量X的标准差． (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确． (4)超几何分布中随机变量X的数学期望E(X)＝·n. 1．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　 ) A．第一枚5点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 答案：B 2．设离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p的值为(　 ) A. B. C. D. 答案：C 3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝. 4．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________. 解析：E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案： 5．甲、乙两名工人在一天的生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为 甲的废品数分布列 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙的废品数分布列 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 解析：由E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，得E(Y)<E(X)，所以乙的技术好． 答案：乙 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　随机变量的分布列及其性质　 [题点全训] 1．下面不是离散型随机变量的是(　 ) A．某机场候机室中一天的游客数量X B．某外卖员一天内收到的点餐次数X C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X D