第11章 第6节 二项分布及其应用、正态分布（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　二项分布及其应用、正态分布 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题. 3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)． (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(B|A)≤1； ②可加性：如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． (3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立． (4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (5)一般地，如果事件A1，A2，…，An(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． (2)独立重复试验的条件 ①每次试验在相同条件下可重复进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． (3)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． (4)两个特殊分布的期望与方差 分布 期望 方差 两点分布 E(X)＝ D(X)＝p(1－p) 二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p) 4.正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在 处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997_4. (1)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (2)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (3)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． (4)在X～N(μ，σ2)中，随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取得的概率很小． (5)相互独立事件的概率与互斥事件的概率的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)；互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 1．在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则(　 ) A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05) C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95) 答案：B 2．鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　 ) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 答案：A 3．天气预报表明在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　 ) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 解析：选C　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 4．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，设事件A＝“第一次取到的是奇数”，事件B＝“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)＝(　 ) A. B.