第12章 第1节 坐标系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第十二章| 选修4－4　坐标系与参数方程 第一节　坐标系 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． [提醒]　极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可． (2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)． 一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． ④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． [提醒]　把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一． 4．简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0<θ<π) 考点(一)　平面直角坐标系中的伸缩变换　 [典例]　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： (1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标； (2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程． [解](1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ： 得∴ ∴点A′的坐标为(1，－1)． (2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点． 由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，∴y＝x为所求直线l′的方程． [方法技巧] 伸缩变换后方程的求法及注意点 (1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求． (2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．　　 [针对训练] 1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形． (1)5x＋2y＝0. (2)x2＋y2＝1. 解：伸缩变换则 (1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线． (2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1， 则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆． 2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值． 解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)代入上式， 得＋＝1， 即2x2＋2y2＝1， 与x2＋y2＝1比较系数， 得所以 考点(二)　极坐标与直角坐标的互化　 [典例]　(2023·武汉模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsin＝，C2：ρ2＝. (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程； (2)曲线C1，C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标． [解]　(1)由ρsin＝，得 ρ＝， 将代入上式得x＋y＝1， 即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0， 同理由ρ2＝，可得3x2－y2＝1， ∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1. (2)由题意可知，先求以MN为直径的圆， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，