第9章 第3节 圆的方程（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　圆的方程 1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心：，半径：r＝ 2．点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 3.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　 ) A．(2,3)，3 B．(－2,3), C．(－2，－3)，13 D．(2，－3), 答案：D 2．圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　 ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 答案：C 3．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是________________________． 答案：x2＋y2－x－3y＝0 4．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为___________． 答案：(x－2)2＋y2＝25(y≠0) 5．若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________． 解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1. 答案：(－∞，1) 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　求圆的方程　 [题点全训] 1．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　 ) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 解析：选C　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C. 2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　 ) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：选B　由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为__________． 解析：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得 ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5 4．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________． 解析：若圆过(0,0)，(4,0)，(－1,1)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点的坐标代入，可得解得易得D2＋E2－4F>0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13. 若圆过(0,0)，(4,0)，(4,