第9章 第7节 抛物线（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第七节　抛物线 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．抛物线的焦半径与焦点弦 抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论： 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦半径的长 ＋x0 －x0 ＋y0 －y0 焦点弦的长 p＋(x1＋x2) p－(x1＋x2) p＋(y1＋y2) p－(y1＋y2) 2.抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|； (6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦； (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 1．若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　 ) A．y2＝－6x　　　　　　 B．y2＝－12x C．x2＝－6y D．x2＝－12y 答案：D 2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为(　 ) A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x C．y2＝－x D．x2＝－y 答案：A 3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 4．抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是_________． 答案：(3，±6) 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　抛物线的定义及应用　 [典例]　(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　 ) A.　　　　　　　 B．1 C. D．2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [解析]　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 又点P到焦点F的距离为2， ∴由定义知点P到准线的距离为2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2， ∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. [答案]　(1)B　(2)4 [方法技巧]　利用抛物线的定义可解决的常见问题 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线 距离问题 灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径 [针对训练] 1．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　 ) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 解析：选B　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为(　 ) A．3