第8章 第5节 空间向量及其运算和空间位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　空间向量及其运算和空间位置关系 1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 4.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理.) 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2.数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积 数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 垂直关系 a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) 模 设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝ (2)空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 　　3.直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量 4.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) α∥β 平面α，β的法向量分别为n，m n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 (1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． (2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． (3)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． (4)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (5)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． (6)用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 1．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　 ) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 答案：C 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　 ) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 答案：B 3.如图，在空间四边形OABC中，OB，AC为其对角线，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 答案： 4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案：10 5．正四面体ABCD 的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 解析：2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为. 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间