第8章 习题课 与球有关的切、接问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类题的关键是确定球心． 方法(一)　定义找心 由球的定义确定球心，在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． [典例]　(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　 ) A．π B.π C．2π D. (2)本例(1)条件不变，则四面体P-ABC的内切球的半径为________． [解析]　(1)如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC， 又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB， 在Rt△PBC中，OB＝PC， 同理OA＝PC， 所以OA＝OB＝OC＝PC， 因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上． 在Rt△ABC中，AC＝＝， 在Rt△PAC中，PC＝＝， 球O的半径R＝PC＝， 所以球的体积为π3＝. (2)设四面体P-ABC的内切球半径为r. 由本例(1)知， S△PAC＝PA·AC＝×1×＝， S△PAB＝PA·AB＝×1×1＝， S△ABC＝AB·BC＝×1×1＝， S△PBC＝PB·BC＝××1＝， VP-ABC＝×AB·BC·PA＝××1×1×1＝， VP-ABC＝(S△PAC＋S△PAB＋S△ABC＋S△PBC)·r ＝·r＝， 所以r＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧] 由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是： (1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点； (2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处．　　 [针对训练] 1．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　 ) A. B. C．8π D．12π 解析：选C　易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P-ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝.故该球的表面积S＝4πR2＝8π. 2.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(　 ) A.π B.π C．32π D.π 解析：选C　根据三视图还原后的几何体为四棱锥P-ABCD，如图所示，侧面PAB⊥底面ABCD.底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD＝O.所以OA＝OB＝OC＝OD＝2.取AB的中点E，则OE⊥AB，所以OE⊥侧面PAB.由题意AB＝4，所以PE＝OE＝2，所以OP＝＝＝2，则点O为其外接球的球心，半径R＝2. 所以这个几何体外接球的表面积为S＝4πR2＝4π(2)2＝32π.故选C. 方法(二)　补形找心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．部分空间几何体可以通过补形补成正方体、长方体或棱柱等途径确定球心． [典例]　已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，BC＝，则球O的体积等于________． [解析]　因为DA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以DA，AB，BC两两垂直，构造如图所示的长方体，又因为DA＝AB＝，BC＝，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD＝.故球O的体积等于π. [答案]　π [方法技巧] 1．补形找心的常用模型 (1)有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱； (2)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体； (3)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体； (4)若已知棱锥含有线面垂直关系， 则可将棱锥补成长方体或正方体． 2．常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.　　　　[针对训练] 1．已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为(　 ) A.π B.π C．27π D．27π 解析：选B　∵三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角