第8章 习题课 立体几何中的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课——立体几何中的综合问题 综合考法一　空间角与翻折问题相结合 [典例]　如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点D，E分别为AB，AC的中点，BE，CD交于点O，OD＝1，如图2，把△ABE沿BE折起，A，D分别到达P，Q，CQ＝. (1)求证：平面BEP⊥平面BEC； (2)求平面BCP与平面OCP所成锐二面角的余弦值． [解]　(1)证明：在图1中AB＝AC，点D，E分别为AB，AC中点，所以＝＝，OB＝OC，OD＝OE，因为OD＝1，所以OB＝OC＝2，因为BC＝2，所以BE⊥CD，所以在图2中，OQ⊥BE，OC⊥BE，所以∠QOC是二面角P-BE-C的平面角，因为OQ＝1，OC＝2，CQ＝，所以OQ2＋OC2＝CQ2，∠QOC＝90°，所以平面BEP⊥平面BEC. (2)由(1)知，OB，OC，OQ两两垂直，以O为原点，直线OB，OC，OQ分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0，0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(－2，0,2)，＝(－2,2,0)，＝(－4,0,2)，＝(0,2,0)，＝(－2,0,2)．设平面BCP的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则有得取x1＝1，得n＝(1,1,2)，设平面OCP的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则有得取x2＝1，得m＝(1,0,1)，设平面BCP与平面OCP所成锐二面角为θ，则cos θ＝＝＝，所以平面BCP与平面OCP所成锐二面角的余弦值为. 解决空间角与翻折相结合的问题的关键：一是盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；二是会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标；三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、公理、公式等解决．　　 [针对训练] 在四边形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥BC，CD＝4AB＝4AD＝4.现将△BCD沿BD折起，使得点C到点P的位置，得到如图所示的三棱锥P-ABD，且∠PDA＝60°. (1)证明：平面PAD⊥平面ABD； (2)求直线AP与平面BPD所成角的正弦值． 解：(1)证明：在△PAD中，由题意知AD＝1，PD＝4，∠PDA＝60°，由余弦定理得， PA＝＝， 易知BD＝，所以PB＝＝. 又AB＝1，所以AB2＋AP2＝PB2，故AB⊥AP. 又AB⊥AD，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面ABD，所以平面PAD⊥平面ABD. (2)取PD的中点E，连接AE.因为AD＝1，DE＝2，∠PDA＝60°，所以由余弦定理得， EA＝＝， 所以EA2＋AD2＝ED2，所以EA⊥AD. 结合(1)知EA，AD，AB两两垂直． 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0，1,0)，E(0，0, )，P(0，－1,2)，所以＝(0，－1,2)，＝(－1，1,0)，＝(－1，－1，2)．设平面BPD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝，则y＝，z＝1，故n＝(，，1)是平面BPD的一个法向量．所以cos〈n，〉＝＝，所以直线AP与平面BPD所成角的正弦值是. 综合考法二　空间角与探索性问题相结合 [典例]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1＝2，BC⊥BA1. (1)求证：BC⊥AB； (2)若E为A1B的中点，三棱锥A-CEA1的体积为，线段CE上是否存在点P，使得二面角P-AB-E的大小为30°，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC. 又∵BC⊥BA1，BB1∩BA1＝B，BB1⊂平面ABB1A1，BA1⊂平面ABB1A1， ∴BC⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB. (2)∵BC⊥BA，BB1⊥平面BAC， ∴BC，BA，BB1两两垂直， 以B为坐标原点，BB1，BC，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设BC＝a. VA-CEA1＝VC-ABA1＝××S△ABA1×CB＝×××2×a×2＝， ∴a＝1. 易知平面ABE的一个法向量为＝(0,1,0)， 设平面ABP的一个法向量为m＝(x，y，z)， ∵A(0,0,2)，B(0,0,0)，C(0,1,0)，E(1,0,1)， ∴＝(0,0,2)，设＝λ， 则＝＋λ＝(1－λ，λ，1－λ)， 则 令x＝λ，得y＝λ－1，z＝0，∴m＝(λ，λ－1,0)， ∵二面角P-AB-E的大小为30°，则cos 30°