第9章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第九章| 解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式 1．直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围 直线l倾斜角的取值范围是[0，π) 2.斜率公式 定义式 直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α，当直线的倾斜角α＝90°，直线的斜率不存在 坐标式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 3.直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线 1．倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系． (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大． (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率． 2．谨记以下几个关键点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　 ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 答案：A 2．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　 ) A.x－3y＋4＝0 B.x－y＋2＝0 C.x－3y＋2＝0 D.x－y＝0 答案：A 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　 ) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：选D　因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4．已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________． 答案：　 5．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________. 解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24. 答案：－24 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　直线的倾斜角和斜率　 [题点全训] 1．在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　 ) A．－2 B．0 C. D．2 解析：选B　由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝＋(－)＝0. 2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　 ) A.∪ B. C.∪ D. 解析：选B　依题意，直线的斜率k＝－∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是. 3．已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________． 解析：如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞) 4．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． 解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4 [一“点”就过] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤： ①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况； ②利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围． (2)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，此时直线垂直于x轴． 基础点(二)　直线的方程　 [题点全训] 1．直线3x－y－1＝0的斜率k及在y轴上的截距b分别是(　 ) A．k＝3，b＝－1 B．k＝－3，b＝1 C．k＝，b＝1 D．k＝3，b＝1 解析：选A　由直线3x－y－1＝0得