第7章 第5节 直接证明与间接证明、数学归纳法（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1．直接证明——综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定 义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 思维 过程 由因导果(顺推证法) 执果索因(逆推证法) 框图 表示 P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示所要证明的结论 → →…→ → →…→ 文字 语言 因为……，所以……， 或由……得……， 或“⇒” 要证(欲证)……， 只需证……， 即证…… 2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立； ②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 3．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． (3)只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． (1)分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件． (2)综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法． (3)用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾． (4)推证n＝k＋1时，一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法． 1．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝(　 ) A．2sin θ B．2cos θ C．sin 2θ D．cos 2θ 答案：D 2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　 ) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a的取值确定 答案：A 3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是(　 ) A．假设三个内角都不大于60° B．假设三个内角都大于60° C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60° 解析：选B　根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°. 4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________． 解析：由题意得2B＝A＋C，∵A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形． 答案：等边三角形 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　综合法证明　 [题点全训] 1．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴≥ ＞0，≥＞0，≥＞0. 由于a，b，c是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴··＞abc＞0成立． 上式两边同时取常用对数， 得lg＞lg(abc)， ∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若C＝，求证：5a＝3b. 证明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B， 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0， 所以5a＝3b. [一“点”就过] 综合法的证题思路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设 中的已