第6章 第2节 等差数列及其前n项和（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　等差数列及其前n项和 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 1．等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数) 通项公式 设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an＝a1＋(n－1)d 等差中项 数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项 2.等差数列的前n项和公式 已知条件 前n项和公式 a1，an，n Sn＝ a1，d，n Sn＝na1＋d 1．等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列． (6)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (7)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 2．微点提醒 (1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. (2)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． (3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝2，则a6的值是(　 ) A．15 B．5 C．10 D．20 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，a7＋a9＝16，a4＝2，所以解得a1＝－，d＝，所以a6＝a1＋5d＝－＋＝5. 2．数列{2n－1}的前10项的和是(　 ) A．120 B．110 C．100 D．10 解析：选C　∵数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S10＝＝＝100.故选C. 3．设{an}是等差数列，且a1＋a2＝12，a3＋a4＝18，则a5＋a6＝(　 ) A．－12 B．0 C．6 D．24 解析：选D　∵{an}是等差数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等差数列，∴2(a3＋a4)＝(a1＋a2)＋(a5＋a6)，∴a5＋a6＝36－12＝24. 4．在等差数列{an}中，已知公差d＝，an＝，前n项和Sn＝－，则a1＝________，n＝________. 解析：由题意得由②，得a1＝－n＋2.代入①后化简，得n2－7n－30＝0.解得n＝10或n＝－3(舍去)，从而a1＝－3. 答案：－3　10 5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝3(a5＋3)，且a4＝－1，则{an}的公差为________． 解析：等差数列{an}中，S6＝3(a5＋3)，且a4＝－1，则解得d＝－2. 答案：－2 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　等差数列基本量的运算　 [题点全训] 1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S19＝57，则3a5－a1－a4＝(　 ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选B　设数列{an}的公差为d，由S19＝57，得19a1＋×d＝57，即a1＋9d＝3， 3a5－a1－a4＝3(a1＋4d)－a1－(a1＋3d)＝a1＋9d＝3. 2．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　 ) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：选C　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为a5＋a10＝12， 所以2a1＋13d＝12， 所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24. 3．(2023·宜春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，S5＝35，则S10＝(　 ) A．100 B．110 C．120 D．130 解析：选C　在等差数列{an}中，a2＝5，S5＝35