第6章 习题课 数列的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　 综合考法一　等差、等比数列的综合问题 [典例]　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn. [解]　(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．因为a1＝S1＝1，a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. (2)设等差数列{bn}的公差为d.由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故b1＝5－d，b3＝5＋d.又a1＝1，a2＝3，a3＝9，且由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列可得(1＋5－d)(9＋5＋d)＝(3＋5)2，解得d＝2或d＝－10.因为等差数列{bn}的各项为正，所以d＞0.所以d＝2，b1＝3，所以Tn＝3n＋×2＝n2＋2n. [方法技巧] 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．　　 [针对训练] 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4　①. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16　②. 联立①②解得a1＝1，d＝1， 故an＝n，所以Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n ＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn， 可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0， 解得n＝4或n＝－1(舍去)． 所以n的值为4. 综合考法二　公共项问题 将数列{an}与{bn}看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项. [典例]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． (2)已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． [解析]　(1)设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm， 则2n－1＝3m－2， 得n＝＝＝＋1， 于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N， 则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝＝3n2－2n. (2)由于数列{an}是以3为公差的等差数列，数列{bn}是以4为公差的等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12， 又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1. 又a100＝5＋(100－1)×3＝302，b100＝3＋(100－1)×4＝399， 所以由n∈N*，解得1≤n≤25，故{cn}的项数为25. [答案]　(1)3n2－2n　(2)12n－1　25 [方法技巧]　求两个数列的公共项的2种方法 不定方程法 列出两个项相等的不定方程，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式 周期法 即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式 [针对训练] 1．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列