第6章 第4节 数列求和（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　数列求和 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.　 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 重难点——逐一精研(补欠缺) 方法(一)　分组转化法求和　 1．分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． 2．分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． [典例]　已知等比数列{an}的公比与等差数列{bn}的公差相等，且b1＝5a1＝5，b5＋b7＝2b3＋12. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． [解]　(1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d. 由题意，(b1＋4d)＋(b1＋6d)＝2(b1＋2d)＋12， 得d＝2.又b1＝5，所以bn＝5＋(n－1)×2＝2n＋3. 又a1＝1，q＝d＝2，有an＝a1qn－1＝2n－1， 所以{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝2n＋3. (2)由(1)可知，cn＝an＋bn＝2n－1＋2n＋3， 令数列{cn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋[5＋7＋9＋…＋(2n＋3)]＝＋＝2n－1＋n2＋4n. [方法技巧]　利用分组转化法求和的3个关键点 会“列方程” 即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会“用公式” 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会“分组求和” 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 [针对训练] 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解： (1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n， B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 方法(二)　裂项相消法求和　 裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． [典例]　在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an－an－1(n≥2)． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)∵an＋1＝2an－an－1(n≥2)，∴an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，∴{an}是等差数列．∵a1＝1，a2＝2，∴a2－a1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴{an}的通项公式为an＝n，n∈N*. (2)∵bn＝，∴bn＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.∴{bn}的前n项和Tn＝. [方法技巧]　常见数列的裂项方法 数列(n为正整数) 裂项方法 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝(－) ＝－ (a>0，a≠1) loga ＝loga(n＋1)－logan [提醒]　利用裂项相消法求和时，要注意检验裂项前后是否等价，还要注意求和时正负相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． [针对训练] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝Sn＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＋1，解得a1＝2，当n≥2时，an－an－1＝Sn＋1－Sn－1－1＝an，∴＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n. (2)∵bn＝＝＝－，∴Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 方法(三)　错位相减法求和　 1．适用条件 若{a