第7章 第1节 不等关系与一元二次不等式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第七章 不等式、推理与证明、程序框图 第一节　不等关系与一元二次不等式 1．比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向，同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ (1)倒数性质 ①a＞b，ab＞0⇒＜； ②a＜0＜b⇒＜； ③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. (2)两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： ①＜；＞(b－m＞0)； ②＞；＜(b－m＞0)． (3)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． (4)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． 1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　 ) A.＞ B．＜ C.＞ D．＜ 答案：B 2．不等式≤1的解集是________． 解析：由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}． 答案：{x|x<－1或x≥1} 3．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为________． 答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1 4．已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________. 答案：R 5．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根， 则a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14. 答案：－14 6．若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 答案：(－3，3) 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　比较两个数(式)的大小　 [题点全训] 1．已知a1，a2∈(0,1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　 ) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)． ∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0. ∴M ＞N. 2．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 答案：＜ 3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________． 解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜. 当q＞0且q≠1时， －＝－ ＝＝＜0， 所以＜.综上可知＜. 答案：＜ [一“点”就过] 比较两个数(式)大小的2种方法 基础点(二)　一元二次不等式的解法　 [题点全训] 1．已知集合A＝{x|－x2＋x＋2＞0}，B＝{x|x2＋3x－4>0}，则A∩B＝(　 ) A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<1} C．{x|－4<x<2} D．{x|x<－4或x>－1} 解析：选A　集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|x<－4或x>1}，则A∩B＝{x|1<x<2}． 2．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a的取值范围为________． 解析：∵原不等式