第4章 习题课-解三角形中的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　

综合考法一　利用基本不等式求最值或范围

[典例]　已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且＝.

(1)求角C的大小；

(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．

[解]　(1)∵＝，

∴c2－2＝ab，即b2＋a2－c2＝ab，

由余弦定理可得：cos C＝＝，

又角C为△ABC的内角，因此C＝.

(2)∵△ABC外接圆半径R＝1，∴由正弦定理可得：2R＝，则c＝2Rsin C＝，

∴b2＋a2－3＝ab，则ab＋3＝a2＋b2≥2ab，

∴ab≤3，当且仅当a＝b＝时等号成立，

∴△ABC的面积S△ABC＝absin C＝ab≤.

即△ABC的面积的最大值是，此时△ABC是等边三角形．

[方法技巧]

求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．　　

[针对训练]

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－c)·sin(A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝4，求a＋c的最大值．

解：(1)在△ABC中，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

∴(a－c)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B)．

由正弦定理得(a－c)c＝(a－b)(a＋b)，

整理得c2＋a2－b2＝ac.

由余弦定理得cos B＝＝，

又0<B<π，∴B＝.

(2)∵b＝4，∴a2＋c2－16＝ac，即(a＋c)2－16＝3ac.

∵ac≤2，∴(a＋c)2－16≤32，

∴(a＋c)2≤16，∴a＋c≤8，当且仅当a＝c时等号成立．∴a＋c的最大值为8.

综合考法二　利用三角函数的性质求最值或范围

[典例]　在①2asin B－bcos C－ccos B＝0，②sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0，③sin Asin C－sin B－cos Acos C＝0三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________(填写序号即可)．

(1)求B；

(2)若a＝1，求b＋c的取值范围．

[解]　(1)若选①，由正弦定理得2sin Asin B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin＝sin A，

因为sin A≠0，所以sin B＝，又因为B∈，所以B＝.

若选②，由正弦定理得a2－b2＋c2－ac＝0，即a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理得cos B＝＝，又因为B∈，所以B＝.

若选③，－sin B＝cos Acos C－sin Asin C＝cos＝cos＝－cos B，从而得tan B＝，又因为B∈，所以B＝.

(2)由正弦定理＝＝得b＝＝，c＝＝＝＝＋，所以b＋c＝＋＝＋＝＋，

由△ABC是锐角三角形可得Error!