第3章 习题课1 “函数与导数”问题常用的解题技能（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模 习题课1——“函数与导数”问题常用的解题技能 综合考法一　抽象不等式问题——构造函数法解决 以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． [例1]　定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为__________． [解析]　由题意构造函数g(x)＝f(x)－x， 则g′(x)＝f′(x)－<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－＝， 由f(lg x)>，得f(lg x)－lg x>. 即g(lg x)＝f(lg x)－lg x>＝g(1)， 所以lg x<1，解得0<x<10. 所以原不等式的解集为(0,10)． [答案]　(0,10) [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [例2]　设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________． [解析]　借助导数的运算法则，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． [答案]　(－∞，－3)∪(0,3) [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [例3]　定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，则(　 ) A．8<<16 B．4<<8 C．3<<4 D．2<<3 [解析]　∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0， ∴′＝＝>0，令g(x)＝，∴g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，∴>， 又由2f(x)<3f(x)，得f(x)>0，即>4. ∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0， ∴′＝ ＝<0， 令h(x)＝，∴h(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，∴<，即<8. 综上，4<<8. [答案]　B [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“＝′”，构造可导函数y＝，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [针对训练] 1．设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且f(0)＝0，则下列结论正确的是(　 ) A．f(x)在R上单调递减 B．f(x)在R上单调递增 C．f(x)在R上有最大值 D．f(x)在R上有最小值 解析：选C　根据条件中“f′(x)＋f(x)”的特征，可以构造F(x)＝exf(x)，则有F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]＝ex·3x2e－x＝3x2，故F(x)＝x3＋c(c为常数)，所以f(x)＝，又f(0)＝0，所以c＝0，f(x)＝.因为f′(x)＝，易知f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(3)＝，无最小值，故选C. 2．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________． 解析：令g(x)＝，则g′(x)＝. 由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0， ∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0. 又∵f(x)是奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1,0)时，f(x)<0. 综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,