第3章 习题课3 利用导数研究不等式恒成立（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课3——利用导数研究不等式恒成立 综合考法一　分离参数法解决不等式恒成立问题 [典例]　已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex， f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以切线方程为y＋2＝－(x－0)， 即x＋y＋2＝0. (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立． 即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立． 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 当x>2时，x2－x>0， 所以a≤＝恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为x>2，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增． 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]． 1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．　　 2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 [针对训练] 已知f(x)＝x－aln x－1. (1)若f(x)有最值，求实数a的取值范围； (2)若当x∈(e，e2)时，f(x)≥0，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝， 当a≤0时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最值，不合题意，舍去．当a>0时，令f′(x)>0，则x>a，令f′(x)<0，则0<x<a， 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取到最小值， 所以a>0，即实数a的取值范围为(0，＋∞)． (2)因为x∈(e，e2)，f(x)≥0，所以aln x≤x－1， 因为ln x>1，所以a≤成立． 令h(x)＝，则h′(x)＝. 令g(x)＝ln x＋－1，则g′(x)＝>0在x∈(e，e2)上恒成立，所以g(x)在(e，e2)上单调递增，则g(x)>g(e)＝>0， 则h′(x)>0在x∈(e，e2)上恒成立． 所以函数h(x)＝在x∈(e，e2)上单调递增，所以h(x)>h(e)＝e－1，所以a≤e－1，即实数a的取值范围为(－∞，e－1]． 综合考法二　等价转化法解决不等式恒成立问题 [典例]　已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1， f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2， 所以所求切线方程为2x－y＋1＝0. (2)令h(x)＝f(x)－g(x)， 由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立， 因为h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax， 所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)． ①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在 [0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(0)＝a－1， 则a－1≥0，得a≥1. ②若a<0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0； 当x∈(－a，＋∞)时，h′(x)>0， 所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(－a)， 又因为h(－a)<h(0)＝a－1<0，所以不合题意． 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 等价转化法求解不等式恒成立问题的思路 遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．　　　 [针对训练] 设函数f(x)＝(1－x2)ex. (1)讨论f(x