第3章 习题课2 利用导数研究不等式的证明（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课2——利用导数研究不等式的证明 综合考法一　作差法构造函数证明不等式 [典例]　已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R)． (1)求函数y＝f(x)的单调区间； (2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2. [解]　(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－(a－2)－＝， 即f′(x)＝， ①若a≤0， 则f′(x)>0在定义域(0，＋∞)上恒成立，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0， 令f′(x)>0，即2x－a>0，解得x>， 令f′(x)<0，即2x－a<0，解得0<x<， 所以f(x)在上单调递减，上单调递增． 综上，a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； a>0时，f(x)在上单调递减，上单调递增． (2)证明：当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x， 要证f(x)＋ex>x2＋x＋2，即证ex－ln x－2>0， 令g(x)－ex－ln x－2，g′(x)＝ex－， 令g′(x)＝ex－＝0，即ex＝，可得方程有唯一解，设为x0，且x0≠1， 所以ex0＝. 当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下， x (0，x0) x0 (x0，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 单调递增 所以g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－2＝＋x0－2， 因为＋x0－2≥2－2＝0，因为x0≠1，所以取不到等号， 即＋x0－2>0，即g(x)min>0恒成立， 所以，ex－ln x－2>0恒成立， 得证． (1)欲证函数不等式f(x)>g(x)(x>a)，只需证明f(x)－g(x)>0(x>a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)>0(x>a)．若h(a)＝0，h(x)>h(a)(x>a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)>0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)>0(x∈I)，也即证h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在，则需求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x>0时，x2<ex. 解：(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减； 当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝ex－x2， 则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x>0时， g(x)>g(0)＝1>0，即x2<ex. 综合考法二　转化为求两函数最值证明不等式 [典例]　设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0. (1)求a的值； (2)求证：当0<x≤2时，f(x)>x. [解]　(1)f′(x)＝2ax－ln x－1－， 由题意，可得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1. (2)证明：由(1)得f(x)＝x2－(x＋1)ln x， 要证当0<x≤2时，f(x)>x， 只需证当0<x≤2时，x－－ln x>，即x－ln x>＋. 令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋， 令g′(x)＝1－＝0，得x＝1， 易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故当0<x≤2时，g(x)min＝g(1)＝1. 因为h′(x)＝，当0<x≤2时，h′(x)>0，所以h(x)在(0,2]上单调递增，故当0<x≤2时，h(x)max＝h(2)＝<1，即h(x)max<g(x)min. 故当0<x≤2时，h(x)<g(x)，即当0<x≤2时，f(x)>x. 对于一些不等式可转化为f(x)≥g(x)的形式，证明f(x)min≥g(x)max即可，在转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．　　 [针对训练] (2023·福建高三期末)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(