第3章 习题课4 利用导数研究函数零点问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课4——利用导数研究函数零点问题 综合考法一　研究函数零点个数 [典例]　已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． [解]　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)． (2)证明：因为x2＋x＋1>0， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a， 则g′(x)＝≥0， 仅当x＝0时，g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． [方法技巧]　判断函数零点个数的3种方法 直接法 令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 [针对训练] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋(x>0)， 则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2， ∴f(x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝， 又∵φ(0)＝0. 结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点． 综合考法二　已知零点存在情况求参数范围 [典例]　设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围． [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时， f′(x)＝－2x－1＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)， 当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)令f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得a＝x－. 令g(x)＝x－，其中x∈， 则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x<1时，g′(x)<0；当1<x≤3时，g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]， ∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f(x)在上有两个零点，g＝3ln 3＋，g(3)＝3－，3ln 3＋>3－， ∴实数a的取值范围是. 本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考： (1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件； (2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝－ln x－k，k∈R. (1)讨论函数f(x)在区间(1，e)内的单调性； (2)若函数f(x)在区间(1，e)内无零点，求k的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝－ln x－k，k∈R，x∈(1，e)， ∴f′(x)＝－－＝－.