第4章 第6节 余弦定理与正弦定理（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　余弦定理与正弦定理

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1．余、正弦定理的内容及其变形

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

2．三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：＝－.

(2)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.

(5)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝.

(6)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

(7)三角形射影定理：

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．

1．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　 )

A.  B．2  C.  D．3

解析：选B　由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去)．

2．在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　 )

A．30°  B．30°或150°

C．60°  D．60°或120°

解析：选A　由正弦定理得＝，解得sin A＝，因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°，故选A.

3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC的形状是(　 )

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

解析：选B　由正弦定理可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，

设a＝3t，b＝4t，c＝5t(t>0)，

所以a2＋b2＝25t2＝c2，所以AC⊥BC，所以△ABC的形状是直角三角形．

4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选D　由bsin 2A＝asin B及正弦定理得2sin Bsin A·cos A＝sin Asin B，解得cos

A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.

5．在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，则△ABC的面积为________．

解析：利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，

可得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍)，

△ABC的面积S＝bc·sin 60°＝×8×5×＝10.

答案：10

层级一/ 基础点——自练通关(省时间)

基础点(一)　正弦定理的简单应用 　

[题点全训]

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，cos A＝，sin B＝，则a＝(　 )

A．8  B．6 

C．5  D．3

解析：选B　因为cos A＝，所以sin A＝，由正弦定理＝，得＝，解得a＝6.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝(　 )

A．30°或150°  B．150°

C．30°  D．60°

解析：选C　∵A＝60°，a＝4，b＝4，由正弦定理得sin B＝＝＝，∵a>b，∴B<60°，∴B＝30°.

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.