2．3二次函数与一元二次方程、不等式（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦高中数学中“二次函数与一元二次方程、不等式”的核心内容，系统构建从基础解法到参数讨论、恒成立问题、实际应用及根的分布等知识链条，前后衔接紧密，形成完整的认知支架。通过数形结合、分类讨论和模型转化等方法，帮助学生理解三个“二次”之间的内在联系，夯实代数推理与函数观念。 该资料设计亮点突出，充分落实数学核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“模型意识”。例如在题型四恒成立问题中，引导学生将不等式转化为函数图像特征进行分析，强化数形结合思维；在实际应用题中，通过建立销售利润模型，培养学生用数学语言表达现实问题的能力。课中可作为教师讲解重难点的有力支撑，课后便于学生自主复习查漏补缺，尤其适合用于分层教学与错题巩固，提升学习效率与思维深度。

2．3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：一元二次不等式的解法 4 知识点二：一元二次不等式恒成立问题 4 知识点三：高次方程和绝对值不等式的解法 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：一元二次不等式的解法 6 题型二：一元二次不等式求参 7 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 8 题型四：不等式恒成立问题 9 题型五：一次分式不等式的解法 10 题型六：实际应用问题 11 题型七：一元二次方程根的分布问题 12 知识点一：一元二次不等式的解法 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点二：一元二次不等式恒成立问题 已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 知识点三：高次方程和绝对值不等式的解法 1、一元高次不等式的解法 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 数轴穿根法的注意点：当不等式中含有时，运用标根法不穿过点，而则穿过点，俗称“奇穿偶不穿”． 2、绝对值不等式的解法 与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形． 一般的，与或同解；与同解． 一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论． 题型一：一元二次不等式的解法 【例题1】不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【例题2】（2025高二下·北京·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 【变式1】不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26高一上·全国·单元测试）若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型二：一元二次不等式求参 【例题3】已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题4】若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式4】设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解为，则的值分别为（   ） A． B．1，6 C． D． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【例题5】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【例题6】解关于的不等式（为常数且）. 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式7】（24-25高二下·天津河西·期末）已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【变式8】已知二次函数（）． (1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【变式9】（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 题型四：不等式恒成立问题 【例题7】（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【例题8】（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的恒成立问题时, 往往先对已知条件进行化简, 转化为下面两种情况: (1) 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 (2) 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 另外, 也可以采取分离参数法, 利用分离参数法解决不等式恒成立问题的前提是 ①易于分离参数; ②能求出分离参数后相应函数的最值. 【变式10】（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【变式11】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 【变式12】已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 题型五：一次分式不等式的解法 【例题9】（1）不等式的解集为 ；（2）不等式的解集为 . 【例题10】不等式的解集为 ． 【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 【变式13】不等式的解集是 ． 【变式14】（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【变式15】（24-25高二下·吉林白山·期末）不等式的解集是 ． 题型六：实际应用问题 【例题11】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题12】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【变式16】某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【变式17】（2024高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【变式18】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：一元二次方程根的分布问题 【例题13】一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【例题14】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【方法技巧与总结】 数形结合 【变式19】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式20】（20-21高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式21】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：一元二次不等式的解法 5 知识点二：一元二次不等式恒成立问题 5 知识点三：高次方程和绝对值不等式的解法 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：一元二次不等式的解法 7 题型二：一元二次不等式求参 8 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 10 题型四：不等式恒成立问题 14 题型五：一次分式不等式的解法 16 题型六：实际应用问题 18 题型七：一元二次方程根的分布问题 20 知识点一：一元二次不等式的解法 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点二：一元二次不等式恒成立问题 已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 知识点三：高次方程和绝对值不等式的解法 1、一元高次不等式的解法 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 数轴穿根法的注意点：当不等式中含有时，运用标根法不穿过点，而则穿过点，俗称“奇穿偶不穿”． 2、绝对值不等式的解法 与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形． 一般的，与或同解；与同解． 一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论． 题型一：一元二次不等式的解法 【例题1】不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】原不等式可化为，解得， 则，故解集为． 故选：A. 【例题2】（2025高二下·北京·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 【变式1】不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 【变式3】（25-26高一上·全国·单元测试）若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或． 故选C． 题型二：一元二次不等式求参 【例题3】已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 【例题4】若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式4】设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 【变式5】若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 【变式6】（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解为，则的值分别为（   ） A． B．1，6 C． D． 【答案】A 【解析】由已知可知方程的两根分别为，， 由韦达定理得：，， ，． 故选：A 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【例题5】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【例题6】解关于的不等式（为常数且）. 【解析】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式7】（24-25高二下·天津河西·期末）已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【解析】（1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 【变式8】已知二次函数（）． (1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【解析】（1）令，则有，得两点的横坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. （2）不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 【变式9】（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 【解析】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 题型四：不等式恒成立问题 【例题7】（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 【例题8】（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求解与不等式有关的恒成立问题时, 往往先对已知条件进行化简, 转化为下面两种情况: (1) 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 (2) 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 另外, 也可以采取分离参数法, 利用分离参数法解决不等式恒成立问题的前提是 ①易于分离参数; ②能求出分离参数后相应函数的最值. 【变式10】（25-26高一上·全国·课前预习）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【解析】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，满足题意； 当时，则，解得； 综上，的取值范围是． 【变式11】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意可得，解得且 （2）由于不等式恒成立，故 ，解得 【变式12】已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【解析】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 题型五：一次分式不等式的解法 【例题9】（1）不等式的解集为 ；（2）不等式的解集为 . 【答案】 或 【解析】（1）由，得到，所以， 所以，即， 解得，即不等式的解集为； （2）不等式，可化为， 等价于， 解得或，所以不等式的解集为或， 故答案为：；或 【例题10】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 故答案为：或或. 【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 【变式13】不等式的解集是 ． 【答案】或 【解析】由等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 【变式14】（24-25高三上·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】原不等式等价于， 则或， 所以不等式的解集为或， 故答案为：或 【变式15】（24-25高二下·吉林白山·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】或， 解得． 故答案为： 题型六：实际应用问题 【例题11】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 【例题12】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【解析】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【变式16】某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【解析】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C 【变式17】（2024高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【解析】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 【变式18】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 题型七：一元二次方程根的分布问题 【例题13】一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 【例题14】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【方法技巧与总结】 数形结合 【变式19】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 【变式20】（20-21高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则方程为， 即，则其只有一个解； 若方程只有一个解，则或，所以或， 所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件. 故选：B 【变式21】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $