1.1.2 集合的基本关系【6大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

1.1.2 集合的基本关系 一、子集与真子集的定义与表示 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 二、空集 1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 三、子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A. （2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. （3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. （4）如果AB，BC，则AC. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面． 四、子集的个数 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 五、韦恩图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 题型一 判断两个集合的包含关系 【例1】（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【变式1-1】（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（ ） A．M＝P B．MP C．P⊆M D．MP 【变式1-2】（2023秋·高一课时练习）（多选）集合，，则P与T的关系为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（ ） A．M=P B． C． D． 【变式1-4】（2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（ ） A． B． C． D． 题型二 确定集合的子集与真子集 【例2】（2022秋·湖北·高一校联考）集合的子集的个数是（ ） A．16 B．8 C．7 D．4 【变式2-1】（2022秋·云南保山·高一校联考）满足的集合的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（ ） A．32 B．31 C．16 D．15 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ） A．4 B．8 C．15 D．16 【变式2-4】（2022秋·安徽·高一芜湖一中校联考）已知集合，集合，则C的子集的个数为（ ） A．3 B．8 C．7 D．16 题型三 判断两个集合是否相等 【例3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（2023·全国·高