第12讲 切点弦与中点弦-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第12讲 切点弦与中点弦 【人教A版2019】 ·模块一 圆锥曲线中的切点弦 ·模块二 圆锥曲线中的中点弦 ·模块三 圆锥曲线中的焦点弦 ·模块四 课后作业 模块一 圆锥曲线中的切点弦 1．圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为. (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1. (2)更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 【考点1 圆锥曲线的切线方程的求解】 【例1.1】（2022·高二课时练习）经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　) A． B． C． D． 【例1.2】（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2022·全国·高三专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程． 【考点2 圆锥曲线的切点弦问题】 【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（    ） A．或 B． C． D．或 【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 【变式2.2】（2023·河南信阳·河南省校联考一模）已知过点的椭圆上的点到焦点的最大距离为3． (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为．已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆C的两条切线MA，MB，A，B为切点，AB与OM（O为原点）交于点D，当最小时求直线AB的方程． 模块二 圆锥曲线中的中点弦 1．直线与圆锥曲线相交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则称线段AB为弦，与这条弦的中点有关的问题是一类综合性很强的问题，被称为弦中点问题. 2．弦中点的有关问题解法 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种： (1)通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解. (2)点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点坐标P(x0,y0)与它和原点连线的斜率的关系. 相关结论： ①在椭圆中有：当x0不为零时，，令，即； ②在双曲线中有：当x0不为零时，； ③在抛物线中有：y0kAB=p. 点差法只能用于一类与弦的中点有关的问题. 【考点3 椭圆的中点弦问题】 【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·高二课时练习）椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【考点4 双曲线的中点弦问题】 【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲