2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型2方程根的个数的判断及其应用 3 题型3根与系数的关系与求值问题 4 题型4构造一元二次方程法 5 题型5根与系数的关系与范围问题 5 知识点： 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{，}； (2)当Δ＝0时，方程的解集为； (3)当Δ<0时，方程的解集为∅． 注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2;二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论。 2．一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝． 题型1一元二次方程的解 【例题1】（2023·高一课时练习）求下列方程的解集： （1）； （2）． （3）；         （3）. （5）； （6） 【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】2. （2023·高一课时练习）若关于x的方程的一个根是，则方程的另一个根是 . 【变式1-1】3. （2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 【变式1-1】4. （多选）（2022秋·重庆璧山·高一统考阶段练习）已知， 是关于x的方程的两个实根，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式1-1】5.（2021秋·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）设一元二次方程的两个根分别为、，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为、、，则以下正确命题的序号是 . ①；②；③；④． 【变式1-1】6.（2023·全国·高三专题练习）设，解关于x的方程. 题型2方程根的个数的判断及其应用 【例题2】（2023·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【变式2-1】1. （2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2. （2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ． 【变式2-1】3. （2023·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 . 【变式2-1】4. （2020秋·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程. (1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围； (2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围； (3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由. 题型3根与系数的关系与求值问题 【例题3】（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（    ） A．或6 B．6 C． D． 【变式3-1】1. （2020秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）若关于的方程的两根分别为，则（    ） A．－1 B．1 C．－3 D．3 【变式3-1】2. （2021秋·山西吕梁·高一统考期中）若a，b是方程的两个实数根，则（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 【变式3-1】3. （2023·高一课时练习）下列说法中正确的是（    ） A．方程的两个实数根、满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．若关于的一元二次方程的两实数根，则 D．已知方程的两实数根、，则， 【变式3-1】4. （2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程的两个实根为，则 【变式3-1】5.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知p，q是关于x的一元二次方程的两根，其中，则的值（    ） A．仅与a有关 B．仅与b有关 C．与ab均有关 D．是与ab无关的定值 【变式3-1】6.（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知一元二次方程的两根为和，的两根为和，则所有可能的值所组成的集合为 ． 题型4构造一元二次方程法 【例题4】（2023·高一课时