第二十三章 旋转 微专题8旋转模型——倍半角（内文）-【教与学·课时导学案】2023-2024学年九年级全一册数学同步课件PPT（人教版）

课时导学案 教与学·课时导学案·数学·九年级·全一册·配人教版（内文） 数 学 第一部分 新课内容 第二十三章 旋转 微专题8 旋转模型——倍半角 目录 01 专题解读 02 典例提升 专题解读 1.模型特征： ①有公共顶点的两个角,其中一个角是另一个角的一半； ②大角的两边相等； ③存在互补(或互余)的角； ④常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 返回目录 2.解题思路： ①以公共端点为旋转中心,相等的两条线段的夹角为旋转角； ②通过先旋转全等再轴对称全等，证明一对轴对称的全等三角形； ③通过全等的性质得出线段之间的数量关系. 返回目录 3.常见图形： （1）等边三角形含半角．如图W8-1①，已知△ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°，将△BDE绕点D顺时针旋转120°得到△CDG，则△DEF≌△DGF，EF=BE+CF； 返回目录 （2）等腰直角三角形含半角．如图W8-1②，已知△ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，则△AEF≌△AED，FC⊥BC，BD2+CE2=DE2； （3）正方形含半角．如图W8-1③，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则△AEF≌△AEG，EF=BE+DF． 返回目录 典例提升 1.如图W8-2，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC于点E，F． （1）如图W8-2①，当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时，线段AE，CF，EF之间是数量关系为____________； （2）如图W8-2②，当∠MBN绕B点旋转到 AE≠CF时，上述（1）中的结论是否成立？ 请说明理由． 类型一：120°含60°的半角模型 AE+CF=EF 返回目录 解：（2）成立． 理由如下： 如答图W8-1，延长DC至点K，使CK=AE，连接BK． 在△BAE与△BCK中， ∴△BAE≌△BCK（SAS）． ∴BE=BK，∠ABE=∠CBK． 返回目录 ∵∠EBF=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=∠ABC-∠EBF=60°． ∴∠FBC+∠CBK=60°，即∠KBF=60°．∴∠KBF=∠EBF． 在△KBF与△EBF中， ∴△KBF≌△EBF（SAS）．∴KF=EF．∴AE+CF=CK+CF=KF=EF． 返回目录 2.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°． （1）如图W8-3①,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，求证：BE+DF=EF； （2）如图W8-3②,若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N，求证：EF2=ME2+NF2； （3）如图W8-3③,将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变，直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系． 类型二：90°含45°的半角模型 返回目录 （1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴AF=AG，BG=DF，∠FAD=∠GAB. ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠FAD=45°. ∴∠BAE+∠GAB=45°， 即∠EAG=45°. 在△AGE与△AFE中， ∴△AGE≌△AFE(SAS).∴EG=EF. ∵EG=BE+BG=BE+DF，∴BE+DF=EF． 返回目录 （2）证明：如答图W8-2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接GM，则AG=AF，∠GAB=∠FAD． 在正方形ABCD中，AD∥BC．∵∠CEF=45°，∴∠N=∠CEF=45°． ∴△AMN是等腰直角三角形．∴AM=AN， ∠AME=45°． 在△AGM与△AFN中， ∴△AGM≌△AFN．∴∠AMG=∠N=45°，MG=NF． ∴∠GME=∠AMG+∠AME=90°．∴EG2=ME2+MG2． 由（1）知EG=EF，∴EF2=ME2+NF2． 返回目录 （3）解：EF2=2BE2+2DF2． 【提示】如答图W8-3，延长EF交AB的延长 线于点M，交AD的延长线于点N，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°得到△AGH，连接EH，MH． 同（1）可得△AHE≌△AFE，∴EH=EF． 在矩形ABCD中，AD∥BC． ∵∠CEF=45°，∴∠N=∠BEM=∠CEF=45°． ∴△AMN，△BME，△DNF均为等腰直角三角形． ∴AM=AN，∠AME=45°，ME=BE，NF=DF． 返回目录 同（2）可得△AHM≌△AFN，∴HM=FN，∠AMH=∠N=45°． ∴∠HME=∠AMH+∠AME=90°．∴HE2=ME2+HM2． ∴EF2=（BE）