第二十二章 二次函数 微专题5二次函数综合——特殊三角形的存在性问题（内文）-【教与学·课时导学案】2023-2024学年九年级全一册数学同步课件PPT（人教版）

课时导学案 教与学·课时导学案·数学·九年级·全一册·配人教版（内文） 数 学 第一部分 新课内容 第二十二章 二次函数 微专题5 二次函数综合——特殊三角形的存在性问题 目录 01 专题解读 02 典例提升 专题解读 1.等腰三角形的存在性问题，一般用 “两圆一线” 法： 如图W5-1，已知线段AB，在平面内找一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的集合为图中虚线部分．“两圆”为以点A，B为圆心，AB长为半 径画的两个圆，这两个圆除了共线点外的其 他各点都满足；“一线”为线段AB的垂直平 分线，垂直平分线上除了与线段AB的交点以 外的其他各点都满足． 返回目录 2.直角三角形的存在性问题，可以按照直角的不同进行分类. 3.常用到两点距离公式： 若点A的坐标为（xA,yA）,点B的坐标为（xB,yB）,则AB=. 返回目录 典例提升 1.如图W5-2，抛物线与x轴交于点A(1,0)， B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 类型一：直角三角形存在问题 返回目录 解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x－1)(x－3). 将点C(0,3)代入上式，得3a=3.解得a=1. ∴抛物线的解析式为y=(x－1)(x－3)=x2－4x+3. ∵y=x2－4x+3=(x－2)2－1， ∴抛物线的顶点坐标为(2,－1). （2）存在一点E，使△BCE是直角三角形．理由如下： ∵y=（x-2）2-1，∴抛物线的对称轴为直线x=2． 设E（2，t），则BC2=32+32=18，BE2=1+t2，CE2=4+(t-3)2． ①当BC为斜边时，得BC2=BE2+CE2，即18=1+t2+4+(t-3)2． 解得t1=，t2=． ∴点E的坐标为(2,)或(2,)； 返回目录 ②当BE为斜边时，得BE2=BC2+CE2，即1+t2=18+4+(t-3)2． 解得t=5．∴点E的坐标为（2，5）； ③当CE为斜边时，得CE2=BC2+BE2，即4+(t-3)2=18+1+t2． 解得t=-1．∴点E的坐标为（2，-1）． 综上所述，点E坐标为(2,)或(2,)或(2,5)或(2,－1)． 返回目录 2.如图W5-3，直线y=－x+2与x轴交于 点B，与y轴交于点C，已知二次函数的 图象经过点B，C和点A(－1,0)． （1）求B，C两点的坐标； （2）求该二次函数的解析式； （3）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△NCD为等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二：等腰三角形存在性问题 返回目录 解：（1）对直线y=－x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4. ∴B(4,0)，C(0,2)． （2）设该二次函数的解析式为y=a(x－4)(x+1). 把点C(0,2)代入上式，得-4a=2.解得a=－. ∴该二次函数的解析式为y=－(x－4)(x+1)=－x2+x+2． 返回目录 （3）存在.理由如下： ∵二次函数的图象经过点B(4,0)，A(－1,0)， ∴抛物线的对称轴为直线x==.∴D(，0). 又∵C(0,2)，∴CD==. ①如答图W5-1，当ND=CD=时， 得N1(，)，N2(，－)； 返回目录 ②如答图W5-2，当CN3=CD时，过点C作CH⊥DN3于点H. ∵CN3=CD，CH⊥DN3，∴DH=N3H. ∵C(0,2)，∴DH=2. ∴DN3=2DH=4.∴N3(，4); 返回目录 ③如答图W5-3，当CN4=DN4时，设N4(,t). ∴C=D，即()2+(t-2)2=t2. 解得t=．∴N4(，). 综上所述,点N的坐标为N1(，)， N2(，－)，N3(，4)，N4(，). 返回目录 谢 谢！ 返回目录 $$