专题07 空间中的距离5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题07 空间中的距离5种常见考法归类 1．空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长． 注：在空间中求两点之间的距离：利用向量法转化为求向量的模． 2．点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离． 3．点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离． 注：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝． 注：若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0． 4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝． 注：线面距、面面距与点面距： 5．计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 6．理解与认识点到直线的距离： 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． (1)点在直线上时，点到直线的距离为0． (2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离． 注：设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向量的模． 7．用向量法求点线距的一般步骤 （1） 建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长； （4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 8．用向量法求点面距的方法与步骤 (1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系； (2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量； (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n； (4)得答案：代入公式d＝求得答案． 注：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量． 9．用向量法求线面距 求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 空间两点间的距离 考点二 点到直线的距离 考点三 点到平面的距离 考点四 线面平行、平行平面间的距离 考点五 空间线段点的存在性问题 考点一 空间两点间的距离 1．（2023秋·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点，应用空间向量方法求解下列问题．    (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长． 2．（2023秋·高二课时练习）如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．    3．（2024秋·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． (1)求的距离； (2)求的值． 考点二 点到直线的距离 4．（2023秋·高二课时练习）已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（    ） A． B． C． D．5 5．（2023秋·浙江·高二校联考期中）已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 6．（2023秋·高二课时练习）已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为 ． 7．（2023秋·高二课时练习）已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 8．（2023秋·高二课时练习）如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知，则到直线的距离为 ．    考点三 点到平面的距离 9．（2023秋·高二课时练习）已知正四棱