2.4 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（湘教版）

2.4 线段的垂直平分线 第2章 三角形 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 优翼数学教学课件（XJ）八上 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 导入新课 观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果将线段 AA′ 沿直线 l 折叠，那么点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 AA′，又垂直于线段 AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 线段垂直平分线的性质 新课讲授 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB. (A) (B) B A P l 活动探究 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm 典例精析 C A B C D E 解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD. 又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm， ∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 问题引入 想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 线段垂直平分线的判定 (1) 当点 P 在线段 AB 上时， ∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点. ∴ 此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. (2) 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC ⊥ AB，垂足为点 C， 则底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 总结归纳 例2 已知：如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：∵ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴ OA = OB. 同理 OB = OC. ∴ OA = OC. ∴ 点 O 在 AC 的垂直平分线上. 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？ 1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的 是（　　） A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB