第05讲 椭圆及其性质（八大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第05讲 椭圆及其性质 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）掌握椭圆的简单应用． 2023年I卷II卷第5题，5分 2023年北京卷第19题，15分 2023年甲卷（理）第12题，5分 2022年甲卷（理）第10题，5分 椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现． 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 题型一：椭圆的定义与标准方程 例1．（2023·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为 . 例2．（2023·山东青岛·统考三模）已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为 ． 例3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 变式1．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为 . 变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 变式3．（2023·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线有相同焦点，且长轴长为 6 的椭圆标准方程为 . 变式4．（2023·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为 . 变式5．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 变式6．（2023·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为 . 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为 . 变式8．（2023·高二课时练习）已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为 . 【解题方法总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：