1.4 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P186]

1．用数学归纳法证明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　)

A．2k＋1

B．2k＋2

C．(2k＋1)＋(2k＋2)

D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k

C　解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2).

2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(　　)

A．　　　B．π　　　C．　　　D．2π

B　解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.

3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)

A．Sk＋

B．Sk＋＋

C．Sk＋－

D．Sk＋－

C　解析：因式子右边各分数的分母是连续正整数，

则由Sk＝＋＋…＋，①

得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②

由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，

故Sk＋1＝Sk＋－.

4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　 )

A．1项　　　B．k项　　　C．2k－1项　　　D．2k项

D　解析：由n＝k和n＝k＋1时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数．当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1，所以增加了2k项．

5．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．

2k＋2　解析：当n＝k时，左端＝(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端＝(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为(2k＋2).

6．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．

an＝　解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.

7．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N＋).

证明：①当n＝1时，左边＝12＝1，

右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.

则当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k(k＋1)·

＝(－1)k·.

所以，当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N＋等式成立．

8．已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个

平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．

证明：(1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2(部分)，

当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，

故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，

即当n＝k＋1时，命题也成立．

根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．

9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测数列{an}，{bn}的通项公式，证明你的结论．

解：由题意得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N＋.

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，由a1＝2，b1＝4可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时，结论成立，

即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2.

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切n∈N＋都成立．

10．用数学归纳法证明：f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，f(k＋1)比f(k)共增加了(　　)

A．1项     B．2k－1项

C．2k＋1项     D．2k项