1.4 数学归纳法（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后巩固 [对应学生用书P1 A级基础巩固练 1.用数学归纳法证明等式，1十2十3+…十2n=(2m+1)时，由n=k到n=k十1时，等 式左边应添加的项是() A.2k+1 B.2k+2 C.(2k+1)+(2k+2) D.(k+1)+(k+2)+…+2k C解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n=k到n=k十1时，等式 左边增加了[1+2+3+…+2k+(2k+1)+2(k+1)月-(1+2+3+…+2为=(2k+1)+(2k+2). 2.记凸k边形的内角和为)，则凸k十1边形的内角和k十1)=的十() A.π2 B. C.3π2 D.2 B解析：由凸k边形变为凸k十1边形时，增加了一个三角形，故k+)=)十x. 3.设S=1k+1+1k+2+1k十3十…+I2k,则S+1为() A.S+12+2 B.S+12k+1+12k+2 C.S+12k+1-12k+2 D.+12k+2-12k+1 C解析：因式子右边各分数的分母是连续正整数， 则由S=1k+1+1k+2+…十12k,① 得S+1=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12(k+1).② 由②-①，得S+1-S=12k+1+12(k+1)-1k+1=12k+1-12(k+1), 故S+1=S+12k+1-12(k+1). 4.利用数学归纳法证明不等式1+12+13十…+12m一1n≥2，n∈N+)的过程中，由 n=k到n=k十1时，左边增加了() A.1项B.k项 C.2-1项 D.2项 D解析：由n=k和n=k十1时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增 加的项数.当n=k时，不等式左边的最后一项为12k一1，而当n=k十1时，最后一项为12k 十1一1，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1，所以增加了2* 项 5.用数学归纳法证明(1+1)2十23十3)(n十m)=2-1·m2十n)时，从n=k到n=k+ 1左边需要添加的因式是 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2k十2解析：当n=k时，左端=(1十1)2十2)（化+，当n=k十1时，左端=(1+1） (2+2)(k+)k+1+k+1),由k到k+1需添加的因式为(2k十2) 6.数列{am}中，已知a1=2,an+1=am3an十1(n∈N+,依次计算出a2,a,a4后，归 纳、猜测得出a,的表达式为 an=26m-5解析：a1=2,a2=27,a=213,a4=219,猜测a,=26m一5 7.用数学归纳法证明：12-22+32-42+…+（一1）-n2=(-1y-1·n(n+1)2(n∈N +) 证明：①当n=1时，左边=12=1， 右边=（一1）×1×(1十1)2=1，左边=右边，等式成立 ②假设n=k∈N+)时，等式成立，即12-22+32-42+…十(-1-=(-1)y-1·k(k十1） 2 则当n=k十1时， 12-22+32-42++(-1-12+(-1)k+1)2 =(-1-1·k(k+1)2+(-1)k+1)2 =(-1)k+1)(k+1)一f2) =(-1)·(k+1)[(k+1)+1]2 所以，当n=k十1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N+等式成立. 8.已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个 平面把空间分成n)=n一1)十2部分. 证明：(1)当n=1时，1个平面把空间分成2部分，而1)=1×(1一1)+2=2（部分），所 以命题正确。 (2)假设当n=k∈N+)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为=k一1) +2(部分)， 当n=k十1时，第k十1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部 分，所以共增加2k部分， 故k+1)=k+2k=kk-1)+2+2k=kk一1+2)+2=(k+1)Ik+1)-1]+2(部分)， 即当n=k十1时，命趣也成立 根据(1)2)，知n个符合条件的平面把空间分成n)=nn一1)十2部分。 9.在数列{a},bm}中，a1=2,b1=4,且am,bm,an+1成等差数列，bn,an+1,bm+ 成等比数列(n∈N+),求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测数列{an},{bn}的通项公式，证 明你的结论。 解：由题意得2bn=an十an+1,an+1=bnbn+1' 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家