1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P175]

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　)

A．2    B．3    C．6    D．7

B　解析：∵S2＝a1＋a2＝4，S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，

∴(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝12.∴d＝3.

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　)

A．5    B．6    C．7    D．8

B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝x2＋(a1－)x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.

3．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数为(　　)

A．4    B．5    C．6     D．7

B　解析：依题意得，

＝＝，

又＝，

于是得＝＝＝＝2＋，

因此，要为整数，当且仅当是正整数，而n∈N＋，则n＋1是32的大于1的约数，

又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，

所以使得为整数的正整数n的个数为5.

4．(多选题)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且2a1＋2a3＝S5，下列结论中

正确的是(　　)

A．S7最小     B．S13＝0

C．S4＝S9     D．a7＝0

BCD　解析：设等差数列{an}的公差为d.由2a1＋2a3＝S5，有2a1＋2(a1＋2d)＝5a1＋d，即a1＋6d＝0，所以a7＝0，则选项D正确．S7＝7a1＋d＝7(a1＋3d)＝－21d，无法判断其是否有最小值，故A错误．S13＝×13＝13a7＝0，故B正确．S9－S4＝a9＋a8＋a7＋a6＋a5＝5a7＝0，所以S4＝S9，故C正确．

5．在等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．

S5　解析：∵

∴∴Sn的最大值为S5.

6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________．

1　解析：由等差数列的前n项和公式可得：＝＝＝×＝×＝1.

7．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.

由a1＝－7得d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.

(2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，

所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

8．(2021·新高考卷2)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值．

解：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，