24.4 相似三角形的判定（讲+练，三大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

24.4 相似三角形的判定 1. 了解相似三角形的概念,会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角 2. 掌握平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所,所得的对应线段成比例， 3.探索两个三角形相似的条件,会选择恰当的方法识别两个三角形相似 4.探索相似三角形的性质,能运用性质进行有关计算 5.会综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题 知识点一 相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 即学即练 如图，在中，D，E分别是边，上的点，且，已知，，，，，.利用相似三角形的定义说明.(补全解题过程） 解：∵______，______，______， ∴______=______=______. ∵， ∴，. ∵， ∴. 知识点二 平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 2. 平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 即学即练 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 知识点三 相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 即学即练 如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点四 相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 即学即练 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   知识点五 相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 即学即练 （2023秋·湖南衡阳·九年级校考期末）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 知识点六 相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 即学即练 （2023·上海杨浦·统考一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 知识点七 直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 即学即练 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC