专题24.5 相似三角形的性质 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.5 相似形的性质 知识点一、相似三角形的性质 1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. 知识点二、相似三角形性质的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 题型01：相似三角形的性质理解 【例1】（2025·上海徐汇·一模）已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 【例2】（2025·上海闵行·一模）已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比、相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为， ∴这两个三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为； 故答案为：． 【例3】（2024-25宝山实验学校九年级月考）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为， 故答案为：． 【例4】（2025·上海长宁·一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：的边长为，将的三边长都扩大为原来的3倍，假设为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扩大为原来的9倍， 故选：B ． 题型02：相似三角形性质的应用——求边长或周长 【例5】（2024-25市北中学九年级月考）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可． 【解析】解：在中，， ∴， ∵与相似， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【例6】（2024-25上海九年级阶段练习）如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可． 【解析】解：由题意，得两三角形的周长比为， 设两三角形的周长分别为，， 由题意，得，解得， ，， 即这两个三角形的周长分别为， 故答案为：． 【例7】（2024-25上海实验学校九年级月考）如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． A B C P Q 【答案】． 【解析】解：， ， ， ，，， ，， ，，， ，． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力． 题型03：相似三角形性质的应用—相似三角形的高的比等于相似比 【例8】（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设交于点，由题意得， ，，，得出四边形是矩形，由得到，继而得到，即，计算即可求解． 【详解】解：设交于点，如图， 长方形的边在的边上，顶点分别在、上， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 【例9】（2024-25上海九年级课时作业）如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长． A B C D E F G H P 【答案】24． 【解析】设正方形的边长为， ，． ，， 正方形的边长为24． 【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 【例10】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积． A B C D E F G H K 【答案】． 【解析】解：设， 矩形，， ,又是高，， , ，, ，，，，． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识． 【例11】（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在中，，，，正方形内接于，点、分别在边、上，点、在斜边上，那么正方形的边长是______． 【答案】/ 【分析】过点C作于点M，交于点N，首先由勾股定理得出的长，由面积法即可求出的长，可证得，再根据相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：如图：过点C作于点M，交于点N， 中，，，， ， ， ∴， ∵正方形内接于， ，， ， ，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型04：相似三角形性质的应用—含平行线的相似三角形 【例12】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 【例13】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【解析】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【例14】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，若，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出，，得即可作答．本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：． 【例15】如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型05：相似三角形性质的应用—图形的面积 【例16】（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为： 【例17】（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积．首先根据平行四边形的性质可证且相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，从而可求的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 【例18】如图，在中，若，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出，，得即可作答．本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：． 【例19】如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【答案】 6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【解析】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 【例20】如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． 过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到． 【解析】解：过作于，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型06：相似三角形性质的应用—动点问题 【例21】如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【解析】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 【例22】如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的长． 【解析】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： 若，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 若，则， 即， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 或， 故答案为：或． 题型07：相似三角形性质的实际应用 【例23】某时刻量得一棵树 AB 在地面上的影子长 BE=30 米，同时测得在 BE 方向上竖起的一根与地面垂直的标杆 CD 的影长DF =3 米，已知标杆高DC=2米，求：树AB的高度。 B D E F C A 参考答案：20米 4．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例24】（2022秋·上海静安·九年级校考期中）一天某时刻小杰发现学校的旗杆和一篮球架的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高，他的影子长，篮球架的高，且．求旗杆的长（精确到0.1米）． 【答案】旗杆的长为． 【分析】由题意可知，即得出，从而得出，代入数据可求出，从而可求出，进而可求出．又易证，即得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】由题意可知， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：旗杆的长为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质的实际应用．熟练掌握三角形相似的判定定理和其性质是解题关键． 题型08：相似三角形的判定与性质的综合---计算 【例25】如图，中，，是边上的高．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【例26】（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由四边形是平行四边形，从而，，，又，故垂直平分，进而可以判断；依据题意，可得，又，从而，则，结合，故可判断；由，又，，可得，进而，即，故可判断；由，可得，再由，故，则，从而可以判断． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， 垂直平分． ，正确，故不符合要求． ． ， ． ． 又， ，正确，故不符合要求． ， ，， ，，即． ，正确，故不符合要求． ， ． 又， ． ，错误，故符合要求． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【例27】（2022秋•崇明区期末）如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出． 【解答】解：过点作，交延长线于， ， 在正方形中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 是正方形对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在正方形中，， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键． 【例28】如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的长． 【答案】(1)见解答； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明； （2）结合（1）证明，得，根据与的周长之比是，可得，进而可以求出的长． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ∴； （2）解：由（1）知： ， ， ， ， 与的周长之比是， ， ， ， ． 题型09：相似三角形的判定与性质的综合---证明成比例线段 【例29】（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明得到即可证得结论； （2）根据等腰三角形的判定与性质得到，，进而利用三角形的内角和定理求得，证明得到即可证得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴，又， ∴， 又， ∴， ∴即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 【例30】如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E． (1)求证：； (2)如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是结论得证； （2）方法一：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由（1）可知，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，，由可得，进而可得，，则，于是结论得证； 方法二：由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由（1）可知，由对顶角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，进而可得，由，可证得，由相似三角形的性质可得，即，进而可得，结合，可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图， 方法一： ，点F是的中点， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， ； 方法二： ，点F是的中点， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段中点的有关计算，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【例31】如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 题型10：综合提升 【例32】（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 【例33】（2023·上海崇明·一模）已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】(1)先证得到，结合证明即可． (2)根据，先证得到，结合，证得到，求得，根据计算即可． (3)过点F作于点M，结合，设，根据勾股定理计算即可． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得； 由(1)得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图，过点F作于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【例34】（22-23九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上的一点，交于点，点在射线上且满足． (1)如图1，求证； (2)如图2，当点在线段上，联结，，求的长； (3)联结，如果与以、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，得到，利用同角的余角相等，得到：，即可得证； （2）证明，求出的长，从而求出的长，再证明，求出的长，利用，求出的长，再用即可求出的长； （3）分和，两种情况，进行讨论求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∵，即：， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 当与以、、为顶点所组成的三角形相似时， ①，如图： 由（2）知：； ②，如图： ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．注意，分类讨论． 一、选择题 1.如图，方格中的，则相似比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格与勾股定理，求相似三角形的相似比． 先由勾股定理求出、的长，再根据相似三角形相似比等于对应边的比求解即可． 【解析】解：由勾股定理得：，， ∵ ∴相似比为：， 故选：B． 2.如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．3 【答案】A 【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质， 由平行四边形性质证明利用三角形相似判定与性质得出MN：AN=MD：AB=1：2，进一步得出进行求解即可. 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵M为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 3.（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：如图，过点A作于H，交于M， ∵的面积是32，， ∴， ∴， 设正方形的边长为x，则， ∵， ∴， ∴ ， ，解得∶， 即这个正方形的边长是4． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 4．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在中，D、E两点分别在、边上，．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，由可知,即相似比为,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2、 填空题 5．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 6．（2025·上海青浦·一模）如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：由题意，相似三角形的相似比为：， ∴它们周长的比为； 故答案为：． 7．（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 8．（2022秋•闵行区期末）如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为　　． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3， ∴这两个相似三角形的面积比为4：9． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知∽，顶点、、分别与、、对应，：：，、分别是它们的对应角平分线，则：______． 【答案】： 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：∽， ：：：， 故答案为：：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键． 10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，，，则________． 【答案】 【分析】根据可求出，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 11．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为______． 【答案】24 【分析】通过证明，则，即可得到答案． 【详解】，正方形的四个顶点在三角形的边上， ， ， ， ． 故答案为24． 【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 12．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理． 根据：，，可证，根据相似三角形的对应边成比例可得：，从而可求的长度； 过点作，根据直角三角形的性质可求，利用勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，因为，，可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， ， 是线段， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 13.如图，已知△ABC中，，，，PQ∥AB，点P在AC上，（与点A、C不重合），Q点在BC上. 　　（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长. 　　（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长. 　　（3）在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长. 14．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 15．如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 16．（2020·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 17.（23-24九年级上·上海·阶段练习）矩形中，，，动点在边上，不与点、重合，过点作的垂线，交直线于点，交射线于点． (1)如图，当点在延长线上时，求的值；在点的运动过程中，的值是否发生改变？ (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)如果点在延长线上，当与相似时，求的长． 【答案】(1)不变，理由见解析 (2)或； (3)当与相似时，的长为或． 【分析】（1）分点在延长线上、点在上两种情况，证明，根据相似三角形的性质解答； （2）分点在延长线上、点在上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案； （3）分、两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】（1）解：如图1，设与交于点， 当点在延长线上时， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点在上时， 同理可证，， ， 综上所述，在点的运动过程中，的值不发生改变； （2）解：如图1，当点在延长线上时， ，， ， 由（1）可知：， ， ∵， ，即， 解得：； 如图2，当点在上时， ，， ， 由（1）可知：， ， ∵， ，即， 解得：； （3）解：如图3，当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，设，则，， ， ∵， ，即， 解得：， ， ，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 综上所述：当与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题24.5 相似形的性质 知识点一、相似三角形的性质 1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. 知识点二、相似三角形性质的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 题型01：相似三角形的性质理解 【例1】（2025·上海徐汇·一模）已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【例2】（2025·上海闵行·一模）已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【例3】（2024-25宝山实验学校九年级月考）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【例4】（2025·上海长宁·一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 题型02：相似三角形性质的应用——求边长或周长 【例5】（2024-25市北中学九年级月考）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【例6】（2024-25上海九年级阶段练习）如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 【例7】（2024-25上海实验学校九年级月考）如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． A B C P Q 题型03：相似三角形性质的应用—相似三角形的高的比等于相似比 【例8】（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． A B C D E F G H P A B C D E F G H K 【例9】（2024-25上海九年级课时作业）如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长． 【例10】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积． 【例11】（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在中，，，，正方形内接于，点、分别在边、上，点、在斜边上，那么正方形的边长是______． 题型04：相似三角形性质的应用—含平行线的相似三角形 【例12】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【例13】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【例14】（2024-25上海九年级课时作业）如图，在中，若，且，则的值为 ． 【例15】如图，若平行于，为中点，，则 ． 题型05：相似三角形性质的应用—图形的面积 【例16】（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【例17】（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【例18】如图，在中，若，且，则的值为 ． 【例19】如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【例20】如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 题型06：相似三角形性质的应用—动点问题 【例21】如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ） A． B． C．或 D．以上均不对 【例22】如图，在直角梯形中，，，点P为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的 ． 题型07：相似三角形性质的实际应用 【例23】某时刻量得一棵树 AB 在地面上的影子长 BE=30 米，同时测得在 BE 方向上竖起的一根与地面垂直的标杆 CD 的影长DF =3 米，已知标杆高DC=2米，求：树AB的高度。 B D E F C A 4．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【例24】（2022秋·上海静安·九年级校考期中）一天某时刻小杰发现学校的旗杆和一篮球架的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高，他的影子长，篮球架的高，且．求旗杆的长（精确到0.1米）． 题型08：相似三角形的判定与性质的综合---计算 【例25】如图，中，，是边上的高． (1)求证：； (2)若，求的长． 【例26】（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【例27】（2022秋•崇明区期末）如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【例28】如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的长． 题型09：相似三角形的判定与性质的综合---证明成比例线段 【例29】（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【例30】如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E． (1)求证：； (2)如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：． 【例31】如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 题型10：综合压轴 【例32】（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【例33】（2023·上海崇明·一模）已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【例34】（22-23九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上的一点，交于点，点在射线上且满足． (1)如图1，求证； (2)如图2，当点在线段上，联结，，求的长； (3)联结，如果与以、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 一、选择题 1.如图，方格中的，则相似比为（    ）． A． B． C． D． 2.如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．3 3.（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ） A．4 B．8 C． D． 4．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在中，D、E两点分别在、边上，．若，则为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 6．（2025·上海青浦·一模）如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 7．（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 8．（2022秋•闵行区期末）如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为　　． 9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知∽，顶点、、分别与、、对应，：：，、分别是它们的对应角平分线，则：______． 10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，，，则________． 11．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为______． 三、解答题 12．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当，时，求的面积． 13. 如图，已知△ABC中，，，，PQ∥AB，点P在AC上，（与点A、C不重合），Q点在BC上. （1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长. （2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长. （3）在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长. 14．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 15．如图，在梯形中，是梯形对角线，． (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 16．（2020·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 17.（23-24九年级上·上海·阶段练习）矩形中，，，动点在边上，不与点、重合，过点作的垂线，交直线于点，交射线于点． (1)如图，当点在延长线上时，求的值；在点的运动过程中，的值是否发生改变？ (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)如果点在延长线上，当与相似时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$