北京交通大学附属中学2023-2024学年高三9月开学考数学试卷

2023北京交大附中高三9月开学考 数 学 说明：本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟. 一、选择题（每题的四个备选答案中只有一个答案正确） 1. 已知集合，集合，则　　 A. B. C. D. 2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是　　 A． B． C． D． 4. “”是“ < 2”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5. 已知平面向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. 8 C. D. 2 6. 已知f（x）是定义在上的偶函数，且在（，0]上单调递增，若a＝f（3），b＝f（log35）， c＝f（0.20.5），则a，b，c的大小关系为（　　） A． a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 7．等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则　　 A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值 8. 已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为 A． B． C． D．4 9．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（　　） 参考数据：log20.75≈﹣0.4 参考时间轴： A．宋 B．唐 C．汉 D．战国 10. 若点为点在平面上的正投影，则记. 如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），，. 给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得∥平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 （A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）①② 二、填空题 11．已知，，且满足，则的最大值为__________. 12. 已知函数为奇函数，，若当时，，则=______． 13．已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为　　． 14．设函数，若函数存在最小值，则的一个取值为 　　；的最大值为 　　． 15．已知数列满足，，给出下列四个结论中，正确的结论是 . ①数列是单调递减数列； ②数列中存在不大于0的项； ③存在，当时，； ④. 三、解答题 16．在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）和的面积． 条件①：；条件②：． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 17．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．已知，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 18．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.5 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等． （Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率； （Ⅱ）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； （Ⅲ）用“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”分别表示不满意．写出方差，，，，的大小关系． 19．已知:的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值. 20．已知函数．