专题03 二次函数的最值与存在性问题（20题）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

专题第03讲 二次函数的最值与存在性问题（20题） 1．（2023春•鼓楼区校级期末）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想； （2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？ 2．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2； （2）求四边形PQCA的面积S的最小值． 3．（2023春•汉寿县期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P为此抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线OD为，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值． 4．（2023•鄄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数及直线BC的表达式． （2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值． （3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023春•铜梁区校级期中）如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD． （1）求S△COD； （2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． ​ 6．（2023•襄阳模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点M（﹣2，）和N（2，﹣）两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若点M是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； （2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P的坐标； （3）若B（m，0），且1≤m≤3，求a的取值范围． 7．（2023•崇川区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PF⊥AC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以及PF的最大值． 8．（2023•平潭县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标． （3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标． 9．（2023•荔城区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值． 10．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值． （3）如图2，点P是直线