第11讲 直线与圆锥曲线-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第11讲 直线与圆锥曲线 【人教A版2019】 ·模块一 直线与圆锥曲线的位置关系 ·模块二 弦长公式 ·模块三 课后作业 模块一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 2．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 3．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【考点1 判断直线与圆锥曲线的位置关系】 【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1.2】（2023·全国·高三对口高考）若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数】 【例2.1】（2023秋·高二课时练习）直线与椭圆只有一个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 弦长公式 1．椭圆的弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．双曲线的弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．抛物线的弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 【考点3 椭圆的弦长问题】 【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（    ） A．±1 B．± C． D．± 【变式3.1】（2023·全国·高二专题练习）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3.2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C：的