江西省吉安市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

一′′′吉安一中2023—2024学年度上学期开学考试 高三数学试卷 命题人： 审题人： 备课组长： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则有（ ）个真子集． A．3 B．16 C．15 D．4 2．若复数满足，则的共轭复数是 A． B． C． D． 3．已知向量、满足，则与的夹角是 A． B． C． D． 4．函数在区间上是减函数，则的取值范围是 A． B．， C．， D． 5．已知，是椭圆C两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 A． B． C． D． 6．设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是 A． B． C． D． 7．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的 A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 8．已知，且，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分） 9．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是 A．乙同学体温的极差为0．3℃ B．甲同学体温的中位数与平均数相等 C．乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D．甲同学体温的第60百分位数为36．6℃ 10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是 A．小球运动的最高点与最低点的距离为 B．小球经过往复运动一次 C．时小球是自下往上运动 D．当时，小球到达最低点 11．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则 A．面积最大值为2 B．的最小值为4 C． D．若，则 12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是 A． B． C．不存在，使得 D．存在，使得 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率 ． 14．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 15．点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ． 16．已知正三棱锥的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求及线段的长； （2）求的面积． 18．（12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上一点，． （1）证明平面； （2）设二面角为，求与平面所成角的大小 19．（12分）设l为曲线C：在点（1，0）处的切线． （I）求l的方程； （II）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方 20．（12分）已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求． 21．（12分）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 22．（12分）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于